ガウス分布とレイリー分布

レイリー分布を二次元ガウス分布から導出．

平均0, 分散$\sigma^2$である変数$x,y$がそれぞれガウス分布に従うとき，結合分布は
$$\begin{eqnarray} p(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$$
となる．

極座標変換する．$x=A\cos(\theta), y=A\sin(\theta)$を代入するだけでなく，ヤコビアンをかけなければならないことに注意．

$$\begin{eqnarray} p(A,\theta)=\frac{A}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{A^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$$

レイリー分布は，この結合分布における振幅Aの周辺分布である．つまり(2)を$\theta$で積分したのがレイリー分布．

$$\begin{eqnarray} p_{ray}(A)=\frac{A}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{A^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$$

ガウス性ノイズの振幅包絡線の分布はレイリー分布に従う．
レイリー分布は1パラメータの確率密度関数．$\sigma^2$は元信号（包絡線ではない）の振幅値から計算できる分散値．レイリー分布に従う変数$A$の二乗平均は

$E[A^2=x^2+y^2]=E[x^2]+E[y^2]=2\sigma^2$

つまり，複素信号(復調後の信号)の振幅データ$A$から$\sigma^2$を推定するときには，複素信号の振幅の二乗平均を求めて2で割れば良い．

複素信号の振幅の二乗平均をパラメータ$\sigma_n^2$としてレイリー分布を表現する場合がある．その時は式(4)の形．

$$\begin{eqnarray} p_{ray}(A)=\frac{2A}{\sigma_n^2}\exp\left(-\frac{A^2}{\sigma_n^2}\right) \end{eqnarray}$$